已知 $a>0$，求证：对于任意正整数 $n$，都有 $\dfrac{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot \cdot \cdot {{a}^{2n}}}{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot {{a}^{2n-1}}}\geqslant \dfrac{n+1}{n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设 $k$ 时成立，即 $\dfrac{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot\cdot \cdot {{a}^{2k}}}{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k-1}}}\geqslant \dfrac{k+1}{k}$，
即 $\dfrac{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k-1}}}{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot \cdot \cdot {{a}^{2k}}}\leqslant \dfrac{k}{k+1}$
$\dfrac{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot\cdot \cdot {{a}^{2k+2}}}{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k+1}}}+\dfrac{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k-1}}}{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot \cdot \cdot {{a}^{2k}}}=\dfrac{\left(1+{{a}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}+{{a}^{4}} \right)+\left({{a}^{2k}}+{{a}^{2k+2}} \right)}{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k+1}}}\geqslant 2$．
即 $\dfrac{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k-1}}}{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot \cdot \cdot {{a}^{2k}}}\leqslant \dfrac{k}{k+1}$
$\dfrac{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot\cdot \cdot {{a}^{2k+2}}}{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k+1}}}+\dfrac{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k-1}}}{1+{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+\cdot \cdot \cdot {{a}^{2k}}}=\dfrac{\left(1+{{a}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}+{{a}^{4}} \right)+\left({{a}^{2k}}+{{a}^{2k+2}} \right)}{a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdot \cdot \cdot{{a}^{2k+1}}}\geqslant 2$．
答案
解析
备注
