对简单凸多面体而言，过一个顶点的所有面角之和肯定不足 $2π$，不足部分称为该顶点的角亏量．求证：简单凸多面体各顶点角亏量之和为常数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4π$
【解析】
把多面体每个面编号，每个面的边数分别为 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{F}}$，易得
${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{F}}=2E$，设角亏量之和为 $\alpha $，
则 $\alpha +\left( {{a}_{1}}-2\right)\cdot {{180}^{\circ }}+\left( {{a}_{2}}-2 \right)\cdot {{180}^{\circ}}+\cdots +\left( {{a}_{F}}-2 \right)\cdot {{180}^{\circ }}=V\cdot{{360}^{\circ }}$，
即 $\alpha +\left( 2E-2F\right)\cdot {{180}^{\circ }}=V\cdot {{360}^{\circ }}$，
$\alpha =\left( V-E+F\right)\cdot {{360}^{\circ }}={{720}^{\circ }}$．
${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{F}}=2E$，设角亏量之和为 $\alpha $，
则 $\alpha +\left( {{a}_{1}}-2\right)\cdot {{180}^{\circ }}+\left( {{a}_{2}}-2 \right)\cdot {{180}^{\circ}}+\cdots +\left( {{a}_{F}}-2 \right)\cdot {{180}^{\circ }}=V\cdot{{360}^{\circ }}$，
即 $\alpha +\left( 2E-2F\right)\cdot {{180}^{\circ }}=V\cdot {{360}^{\circ }}$，
$\alpha =\left( V-E+F\right)\cdot {{360}^{\circ }}={{720}^{\circ }}$．
答案
解析
备注
