设 $x$，$y$，$z$ 都大于1，$\omega $ 是一个正数，而且有 ${{\log }_{x}}\omega =24$，${{\log }_{y}}\omega =40$，${{\log }_{xyz}}\omega =12$．求 ${{\log }_{z}}\omega $．
【难度】
【出处】
1983年第1届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
60
【解析】
把已知的对数式写成指数形式，得到 ${{x}^{24}}=\omega $，${{y}^{40}}=\omega $，${{\left( xyz \right)}^{12}}=\omega $．
从而 ${{z}^{12}}=\frac{\omega}{{{x}^{12}}{{y}^{12}}}=\frac{\omega }{{{\omega }^{\frac{1}{2}}}{{\omega}^{\frac{3}{10}}}}={{\omega }^{\frac{1}{5}}}$，
那么 $\omega={{z}^{60}}$，${{\log }_{z}}\omega =60$．
从而 ${{z}^{12}}=\frac{\omega}{{{x}^{12}}{{y}^{12}}}=\frac{\omega }{{{\omega }^{\frac{1}{2}}}{{\omega}^{\frac{3}{10}}}}={{\omega }^{\frac{1}{5}}}$，
那么 $\omega={{z}^{60}}$，${{\log }_{z}}\omega =60$．
答案
解析
备注
