计算 $\left( \sqrt{5}\text{+}\sqrt{6}\text{+}\sqrt{7} \right)\left( \sqrt{5}\text{+}\sqrt{6}-\sqrt{7} \right)\left( \sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7} \right)\left( -\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7} \right)$ 的乘积．
【难度】
【出处】
1986年第4届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
104
【解析】
反复利用公式 $\left( x+y \right)\left( x-y \right)={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$，有
$\left(\sqrt{5}\text{+}\sqrt{6}+\sqrt{7} \right)\left( \sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}\right)={{\left( \sqrt{5}+\sqrt{6} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{7}\right)}^{2}}$
$=11+2\sqrt{30}-7=4+2\sqrt{30}$，
$\left(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7} \right)\left( -\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}\right)={{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{6}\right)}^{2}}=7-\left( 11-2\sqrt{30} \right)$
$=-4+2\sqrt{30}$，
而 $\left( 4+2\sqrt{30}\right)\left( -4+2\sqrt{30} \right)={{\left( 2\sqrt{30}\right)}^{2}}-{{4}^{2}}=120-16=104$．所以原式 $=104$．
$\left(\sqrt{5}\text{+}\sqrt{6}+\sqrt{7} \right)\left( \sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}\right)={{\left( \sqrt{5}+\sqrt{6} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{7}\right)}^{2}}$
$=11+2\sqrt{30}-7=4+2\sqrt{30}$，
$\left(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7} \right)\left( -\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}\right)={{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{6}\right)}^{2}}=7-\left( 11-2\sqrt{30} \right)$
$=-4+2\sqrt{30}$，
而 $\left( 4+2\sqrt{30}\right)\left( -4+2\sqrt{30} \right)={{\left( 2\sqrt{30}\right)}^{2}}-{{4}^{2}}=120-16=104$．所以原式 $=104$．
答案
解析
备注
