一本书的页号为1至 $n$，在把这本书的各页号累加起来的时候，有一个页号被错误地多加了一次．结果，所得到的错误的和数为1986．问这个被多加一次的页号是几？
【难度】
【出处】
1986年第4届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
33
【解析】
设 $k$ 是被多加了一次的页数，则 $0<k<n+1$，所以 $1+2+\cdots +n+k$ 在 $1+2+\cdots +n$ 与 $1+2+\cdots +n+\left( n+1 \right)$ 之间，所以 $\frac{n\left(n+1 \right)}{2}<1986<\frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{2}$，
即 $n\left( n+1\right)<3972<\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$．
通过试验（$n$ 显然是稍大于60的数）得到 $n=62$，
所以 $k=1986-\frac{62\times63}{2}=1986-1953=33$．
即 $n\left( n+1\right)<3972<\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$．
通过试验（$n$ 显然是稍大于60的数）得到 $n=62$，
所以 $k=1986-\frac{62\times63}{2}=1986-1953=33$．
答案
解析
备注
