在扔硬币时，如果用Z且示正面朝上，F表示反面朝上，那么扔硬币的序列就表示为用Z和F组成的串，我们可以统计在这种序列中正面紧跟着反面 $\left( \text{FZ} \right)$ 的出现次数，正面紧跟着正面 $\left( \text{ZZ} \right)$ 的出现次数……例如，序列ZZFFZZZZFZZFFFF是15次扔硬币的结果，其中有5个ZZ，3个ZF，2个FZ，4个FF．问有多少个15次扔硬币的序列，恰好有2个ZZ，3个ZF，4个FZ，5个FF？
【难度】
【出处】
1986年第4届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
560
【解析】
由于扔硬币序列是由 $Z$ 段和 $F$ 段组成的．从 $Z$ 段进入 $F$ 段，分界处出现一个 $ZF$，反之亦然；从 $F$ 段进入 $Z$ 段，分界处出现一个 $FZ$，反之亦然．由于15次扔硬币中要求恰有4个 $FZ$，3个 $ZF$，所以这个序列的形式必为
$\left(F \right)\left( Z \right)\left( F \right)\left( Z \right)\left( F \right)\left(Z \right)\left( F \right)\left( Z \right)$，（4）
其中 $\left( F \right)$ 表示一个 $F$ 段，$\left( Z\right)$ 表示一个 $Z$ 段．首先设想，每一段只含一个字母，由题设，应该把2个 $Z$ 插入这些 $Z$ 一段，5个 $F$ 插入这些 $F$ 段．我们要计算有多种插入方法．
由于把 $p$ 个不可分辨的球（2个 $Z$ 或5个 $F$）放入 $q$ 个可分辨的箱子（4个 $Z$ 段或4个 $F$ 段），共有 $\text{C}_{p+q-1}^{p}$ 种方法，所以2个 $Z$ 有 $\text{C}_{2\text{+}4-1}^{2}\text{=10}$ 种插入方法，5个 $F$ 有 $C_{5\text{+}4-1}^{5}=56$ 种插入方法．所以问题的解为 $10\times56=560$．
$\left(F \right)\left( Z \right)\left( F \right)\left( Z \right)\left( F \right)\left(Z \right)\left( F \right)\left( Z \right)$，（4）
其中 $\left( F \right)$ 表示一个 $F$ 段，$\left( Z\right)$ 表示一个 $Z$ 段．首先设想，每一段只含一个字母，由题设，应该把2个 $Z$ 插入这些 $Z$ 一段，5个 $F$ 插入这些 $F$ 段．我们要计算有多种插入方法．
由于把 $p$ 个不可分辨的球（2个 $Z$ 或5个 $F$）放入 $q$ 个可分辨的箱子（4个 $Z$ 段或4个 $F$ 段），共有 $\text{C}_{p+q-1}^{p}$ 种方法，所以2个 $Z$ 有 $\text{C}_{2\text{+}4-1}^{2}\text{=10}$ 种插入方法，5个 $F$ 有 $C_{5\text{+}4-1}^{5}=56$ 种插入方法．所以问题的解为 $10\times56=560$．
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