长方体P内部对角线到三条与它不相交的棱之间的最短距离分别为 $2\sqrt{5}$，$30/\sqrt{13}$，$15/\sqrt{10}$，求 $P$ 的体积（内部对角线即体对角线）．
【难度】
【出处】
1986年第4届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
750
【解析】
设长方体 $P$ 如图（a）所示，长、宽、高为 $x$，$y$，$z$．为确定起见，设 $d\left(BH, CD \right)=2\sqrt{5}$，$d\left( BH,AE \right)=\frac{30}{\sqrt{13}}$，$d\left( BH,AD \right)=\frac{15}{\sqrt{10}}$，其中 $d\left( RS,TU \right)$ 表示直线 $RS$ 和 $TU$ 之间的距离．易知 $d\left(BH,AD \right)$ 等于 $\vartriangle ADH$ 中斜边 $AH$ 上的高 $DQ$．由直角三角形面积公式得 $DQ=\frac{xy}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$，同样处理另外两个距离得
$\frac{xy}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=2\sqrt{5}$ $\frac{yz}{\sqrt{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}=\frac{30}{\sqrt{13}}$，$\frac{zx}{\sqrt{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\frac{15}{\sqrt{10}}$．
把上述三个方程中每个两边平方，再取倒数得
$\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{20}$，$\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=\frac{13}{900}$，$\frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{2}{45}$．
解之得 $x=5$，$y=10$，$z=15$．
所以，$P$ 的体积为 $xyz=750$．
$\frac{xy}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=2\sqrt{5}$ $\frac{yz}{\sqrt{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}=\frac{30}{\sqrt{13}}$，$\frac{zx}{\sqrt{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\frac{15}{\sqrt{10}}$．
把上述三个方程中每个两边平方，再取倒数得$\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{20}$，$\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=\frac{13}{900}$，$\frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{2}{45}$．
解之得 $x=5$，$y=10$，$z=15$．
所以，$P$ 的体积为 $xyz=750$．
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