1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）

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  平面几何

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如图所示，令 $a=BC$，$b=AC$，${{T}_{1}}$，${{T}_{2}}$，${{S}_{1}}$，${{S}_{2}}$，${{S}_{3}}$ 均为图中所示的各三角形的面积．由相似三角形面积比等于相似比平方得 $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{\vartriangle ABC}}}=\frac{440}{{{a}^{2}}}$，$\frac{{{T}_{1}}}{{{S}_{\vartriangle ABC}}}\text{=}\frac{441}{{{a}^{2}}}$．所以 $\frac{{{S}_{1}}}{{{T}_{1}}}\text{=}\frac{440}{441}$．同理 $\frac{{{S}_{2}}}{{{T}_{2}}}=\frac{440}{441}$．
所以 $\frac{{{S}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{S}_{2}}}{{{T}_{2}}}=\frac{440}{441}$，
${{S}_{\vartriangle ABC}}={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+440=\frac{440}{441}\left({{T}_{1}}+{{T}_{2}}+441 \right)+{{S}_{3}}$
$=\frac{440}{441}{{S}_{\vartriangle ABC}}+{{S}_{3}}$，
${{S}_{3}}=\frac{1}{441}{{S}_{\vartriangle ABC}}$．
又三角形 ${{S}_{3}}$ 的斜边 $\text{=}\sqrt{440}$，得 $AB=\sqrt{440}\times\sqrt{\frac{{{S}_{\vartriangle ABC}}}{{{S}_{3}}}}=21\sqrt{440}$．
设三角形 ${{S}_{3}}$ 斜边上的高为 ${{h}_{1}}$，三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上的高为 $h$，则 $\frac{{{h}_{1}}}{h}=\frac{1}{21}$，又 $h={{h}_{1}}+\sqrt{440}$，所以 $h=\frac{21}{20}\sqrt{440}$．
由 $ab=AB\cdot h=21\sqrt{440}\times \frac{21}{20}\sqrt{440}={{21}^{2}}\times 22$，得
${{\left( a+b \right)}^{2}}=A{{B}^{2}}+2ab={{21}^{2}}\times440+2\times {{21}^{2}}\times 22$
$={{21}^{2}}\times{{22}^{2}}$，
所以 $AC+CB=a+b=21\times22=462$．