若 ${{\log }_{2}}\left( {{\log }_{8}}x \right)={{\log }_{8}}\left( {{\log }_{2}}x \right)$，试求 ${{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}$．
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
27
【解析】
因为 ${{\log }_{8}}x=\frac{1}{{{\log }_{x}}8}=\frac{1}{3{{\log}_{x}}2}=\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x$，${{\log }_{8}}\left({{\log }_{2}}x \right)=\frac{1}{3}{{\log }_{2}}\left( {{\log }_{2}}x \right)$，
令 $y={{\log }_{2}}x$，则题中的等式等价于 ${{\log}_{2}}\frac{y}{3}=\frac{1}{3}{{\log }_{2}}y$．（1）
从（1）得 ${{\log }_{2}}{{\left( \frac{y}{3} \right)}^{3}}={{\log }_{2}}y$，
所以 ${{\left(\frac{y}{3} \right)}^{3}}=y$．
化简得 $y\left({{y}^{2}}-27 \right)=0$．（2）
因为 $y\ne 0$（否则式（1）两边无意义），所以 ${{y}^{2}}={{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}=27$．
令 $y={{\log }_{2}}x$，则题中的等式等价于 ${{\log}_{2}}\frac{y}{3}=\frac{1}{3}{{\log }_{2}}y$．（1）
从（1）得 ${{\log }_{2}}{{\left( \frac{y}{3} \right)}^{3}}={{\log }_{2}}y$，
所以 ${{\left(\frac{y}{3} \right)}^{3}}=y$．
化简得 $y\left({{y}^{2}}-27 \right)=0$．（2）
因为 $y\ne 0$（否则式（1）两边无意义），所以 ${{y}^{2}}={{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}=27$．
答案
解析
备注
