对于 $i=1 2 \cdots n$，有 $\left| {{x}_{i}} \right|<1$，又假设 $\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|+\cdots +\left| {{x}_{n}} \right|=19+\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}} \right|$，那么整数 $n$ 的最小值是多少？
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
20
【解析】
因为 $\left| {{x}_{i}} \right|<1$，$i=1 2 \cdots n$，又 $\displaystyle \left| \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right|\geqslant 0$，所以
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{x}_{i}} \right|-\left| \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right|\leqslant\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{x}_{i}} \right|}<n}$．（3）
由已知等式可得 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{x}_{i}} \right|-\left| \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right|=19}$．（4）
所以 $n>19$．当 $n=20$ 时，取 ${{x}_{i}}=\left\{\begin{align}
& 0.95 i \\
& -0.95 i. \\
\end{align}\right.$
满足已知条件和已知等式，所以整数 $n$ 的最小值为20．
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{x}_{i}} \right|-\left| \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right|\leqslant\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{x}_{i}} \right|}<n}$．（3）
由已知等式可得 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|{{x}_{i}} \right|-\left| \sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}} \right|=19}$．（4）
所以 $n>19$．当 $n=20$ 时，取 ${{x}_{i}}=\left\{\begin{align}
& 0.95 i \\
& -0.95 i. \\
\end{align}\right.$
满足已知条件和已知等式，所以整数 $n$ 的最小值为20．
答案
解析
备注
