定义在有序正整数对上的函数 $f$ 满足下列三条性质：① $f\left( x ,x \right)=x$；② $f\left( x, y \right)=f\left( y, x \right)$；③ $\left( x+y \right)f\left( x ,y \right)=yf\left( x, x+y \right)$，试计算 $f\left( 14 ,52 \right)$．
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
364
【解析】
由性质 ③，得 $f\left( x, x+y \right)=\frac{x+y}{y}f\left( x, y \right)$．
我们将反复用这一性质，当有序数对的第一个数大于第二个数时用性质 ②，最后应用性质 ①，则可得 $f\left( x ,x+y \right)=\frac{x+y}{y}f\left( x ,y \right)$．
我们将反复用这一性质，当有序数对的第一个数大于第二个数时用性质 ②，最后应用性质 ①，则可得
$f\left( 14 ,52 \right)=f\left( 14 ,14+38\right)=\frac{52}{38}f\left( 14, 38 \right)$
$=\frac{52}{38}\cdot \frac{38}{24}f\left(14 ,24 \right)=\frac{52}{24}\cdot \frac{24}{10}f\left( 14 ,10 \right)$
$=\frac{26}{5}f\left( 10 ,14\right)=\frac{26}{5}\cdot \frac{14}{4}f\left( 10 4 \right)$
$=\frac{91}{5}f\left( 4, 10 \right)=\frac{91}{5}\cdot\frac{10}{6}f\left( 4 ,6 \right)$
$=\frac{91}{3}\cdot \frac{6}{2}f\left( 4, 2 \right)=91f\left( 2, 4 \right)$
$=91\cdot \frac{4}{2}f\left( 2 ,2\right)=364$．
我们将反复用这一性质，当有序数对的第一个数大于第二个数时用性质 ②，最后应用性质 ①，则可得 $f\left( x ,x+y \right)=\frac{x+y}{y}f\left( x ,y \right)$．
我们将反复用这一性质，当有序数对的第一个数大于第二个数时用性质 ②，最后应用性质 ①，则可得
$f\left( 14 ,52 \right)=f\left( 14 ,14+38\right)=\frac{52}{38}f\left( 14, 38 \right)$
$=\frac{52}{38}\cdot \frac{38}{24}f\left(14 ,24 \right)=\frac{52}{24}\cdot \frac{24}{10}f\left( 14 ,10 \right)$
$=\frac{26}{5}f\left( 10 ,14\right)=\frac{26}{5}\cdot \frac{14}{4}f\left( 10 4 \right)$
$=\frac{91}{5}f\left( 4, 10 \right)=\frac{91}{5}\cdot\frac{10}{6}f\left( 4 ,6 \right)$
$=\frac{91}{3}\cdot \frac{6}{2}f\left( 4, 2 \right)=91f\left( 2, 4 \right)$
$=91\cdot \frac{4}{2}f\left( 2 ,2\right)=364$．
答案
解析
备注
