试找出最小的正整数 $n$，使它的立方的末三位数字是888．
【难度】
【出处】
1988年第6届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
192
【解析】
如果一个正整数的立方以8结尾，那么这个数本身必以2结尾，即它可以写成 $10k+2$ 的形式．于是 ${{n}^{3}}={{\left( 10k+2 \right)}^{3}}=1000{{k}^{3}}+600{{k}^{2}}+120k+8$，
其中 $120k$ 这一项决定了 ${{n}^{3}}$ 的十位数字，这一位是8，所以 $12k$ 一定以8结尾，即 $k$ 是4或9，因此 $k=5m+4$（$m$ 为非负整数）．故
${{n}^{3}}={{\left[10\left( 5m+4 \right)+2 \right]}^{3}}$
$=125000{{m}^{3}}+315000{{m}^{2}}+264600m+74088$．
由于右式前两项的末三位数是000，而最后一项的后三位数字为088，则 $264600m$ 的末三位数字必是800．满足此条件的最小整数 $m=3$，这时 $k=5\times3+4=19$，$n=10\times 19+2=192$．
其中 $120k$ 这一项决定了 ${{n}^{3}}$ 的十位数字，这一位是8，所以 $12k$ 一定以8结尾，即 $k$ 是4或9，因此 $k=5m+4$（$m$ 为非负整数）．故
${{n}^{3}}={{\left[10\left( 5m+4 \right)+2 \right]}^{3}}$
$=125000{{m}^{3}}+315000{{m}^{2}}+264600m+74088$．
由于右式前两项的末三位数是000，而最后一项的后三位数字为088，则 $264600m$ 的末三位数字必是800．满足此条件的最小整数 $m=3$，这时 $k=5\times3+4=19$，$n=10\times 19+2=192$．
答案
解析
备注
