若 $a<b<c<d<e$ 是五个连续的正整数,使得 $b+c+d$ 是完全平方数,$a+b+c+d+e$ 是个完全立方数,$c$ 可能取的最小值是多少?
【难度】
【出处】
1989年第7届美国数学邀请赛(AIME)
【标注】
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    完全平方数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
675
【解析】
设 $a=x-2$,$b=x-1$,$c=x$,$d=x+1$,$e=x+2$,则 $b+c+d=3x$,$a+b+c+d+e=5x$.
依题意,$x$ 应含 ${{3}^{3}}\cdot{{5}^{2}}$ 的因数,即 $x={{3}^{3}}\cdot{{5}^{2}}\cdot {{k}^{6}}$($k$ 是正整数),所以 $c=x$ 的最小值是 ${{3}^{3}}\times{{5}^{2}}=675$.
答案 解析 备注
0.110477s