如果 $0<a<b<c<d<500$，并且 $a+d=b+c$，$bc-ad=93$，那么满足以上条件的有序四元整数组 $\left( a, b, c ,d \right)$ 有多少？
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
870
【解析】
因为 $a+d=b+c$，我们可以取 $\left( a,b,c,d \right)=\left( a,a+x,a+y,a+x+y \right)$，这里 $x$，$y$ 为整数，且 $0<x<y$．
$93=bc-ad=\left(a+x \right)\left( a+y \right)-a\left( a+x+y \right)=xy$，
所以 $\left( x,y\right)=\left( 1,93 \right)$ 或 $\left( x,y \right)=\left( 3,31 \right)$ 当 $\left( x , y \right)=\left( 1,93 \right)$ 时，
$\left( a,b,c,d \right)=\left( a,a+1,a+93,a+94 \right)$，则 $a$ 取 $1$，2，…，405；
当 $\left( x,y\right)=\left( 3,31 \right)$ 时，$\left( a,b,c,d \right)=\left( a,a+3,a+31,a+34 \right)$．则 $a$ 取1，2，…，465．
这两组数组中无重复的，所以共有 $405+465=870$ 个四元整数组满足条件．
$93=bc-ad=\left(a+x \right)\left( a+y \right)-a\left( a+x+y \right)=xy$，
所以 $\left( x,y\right)=\left( 1,93 \right)$ 或 $\left( x,y \right)=\left( 3,31 \right)$ 当 $\left( x , y \right)=\left( 1,93 \right)$ 时，
$\left( a,b,c,d \right)=\left( a,a+1,a+93,a+94 \right)$，则 $a$ 取 $1$，2，…，405；
当 $\left( x,y\right)=\left( 3,31 \right)$ 时，$\left( a,b,c,d \right)=\left( a,a+3,a+31,a+34 \right)$．则 $a$ 取1，2，…，465．
这两组数组中无重复的，所以共有 $405+465=870$ 个四元整数组满足条件．
答案
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备注
