设 $GH$ 是 $\vartriangle ABC$ 的一条高线，$R$ 和 $S$ 分别为 $\vartriangle AHC$ 和 $\vartriangle BHC$ 的内切圆与 $CH$ 的切点．若 $AB=1995$，$AC=1994$，$BC=1993$，则 $RS$ 可以被表示为一个最简分数 $\frac{m}{n}$，求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
997
【解析】
如图，令 $\vartriangle ABC$ 的三边 $BC$，$AC$，$AB$ 分别为 $a$，$b$，$c$，$CH=h$，$AH=x$，$BH=y$，两内切圆的半径分别为 ${{r}_{1}}$，${{r}_{2}}$．于是 $RS=\left| RH-SH \right|=\left| {{r}_{1}}-{{r}_{2}} \right|$．
由 $b=AC=AP+CP=AT+CR=\left(x-{{r}_{1}} \right)+\left( h-{{r}_{1}} \right)$，推得 ${{r}_{1}}=\frac{x+h-b}{2}$．同理 ${{r}_{2}}=\frac{y+h-a}{2}$．
所以 $RS=\left|{{r}_{1}}-{{r}_{2}} \right|=\left| \frac{x+h-b}{2}-\frac{y+h-a}{2} \right|$
$=\frac{1}{2}\left| \left( x-y \right)+\left( a-b \right) \right|$．（6）
又因为 ${{a}^{2}}-{{y}^{2}}={{h}^{2}}={{b}^{2}}-{{x}^{2}}$，所以 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}$．
$x-y=\frac{\left( b+a \right)\left( b-a \right)}{x+y}=\frac{\left(b+a \right)\left( b-a \right)}{c}$（7）
将（7）代入（6），得
$RS=\frac{1}{2}\left| \frac{\left( b+a \right)\left( b-a\right)}{c}+\left( a-b \right) \right|$
$=\frac{\left| b-a \right|}{2c}\left| a+b-c\right|$
$=\frac{\left| 1994-1993 \right|}{2\cdot1995}\cdot \left| 1993+1994-1995 \right|$
$=\frac{332}{665}$．
所以 $m+n=332+665=997$．
由 $b=AC=AP+CP=AT+CR=\left(x-{{r}_{1}} \right)+\left( h-{{r}_{1}} \right)$，推得 ${{r}_{1}}=\frac{x+h-b}{2}$．同理 ${{r}_{2}}=\frac{y+h-a}{2}$．所以 $RS=\left|{{r}_{1}}-{{r}_{2}} \right|=\left| \frac{x+h-b}{2}-\frac{y+h-a}{2} \right|$
$=\frac{1}{2}\left| \left( x-y \right)+\left( a-b \right) \right|$．（6）
又因为 ${{a}^{2}}-{{y}^{2}}={{h}^{2}}={{b}^{2}}-{{x}^{2}}$，所以 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}$．
$x-y=\frac{\left( b+a \right)\left( b-a \right)}{x+y}=\frac{\left(b+a \right)\left( b-a \right)}{c}$（7）
将（7）代入（6），得
$RS=\frac{1}{2}\left| \frac{\left( b+a \right)\left( b-a\right)}{c}+\left( a-b \right) \right|$
$=\frac{\left| b-a \right|}{2c}\left| a+b-c\right|$
$=\frac{\left| 1994-1993 \right|}{2\cdot1995}\cdot \left| 1993+1994-1995 \right|$
$=\frac{332}{665}$．
所以 $m+n=332+665=997$．
答案
解析
备注
