萨拉打算作一个两位数乘以三位数的乘法，但粗心的她在计算时遗漏掉了乘号，从而将两位数直接置于三位数的左边，形成了一个五位数．该五位数恰好为应得乘积的9倍．那么，萨拉用的那两个数之和是多少？
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
126
【解析】
设题中所述的两位数和三位数分别为 $A$，$B$，故由题意有 $9AB=1000A+B$．（1）
从而 $A|B$，设 $B=At$，代入式（1）得 $9At=1000+t$．
故 $t=\frac{1000}{9A-1}$，由于 $10\leqslant A\leqslant 99$，故 $89\leqslant 9A-1\leqslant 890$，又1000的不小于89的约数仅有100，125，200，250，500，1000，而其中能表示为 $9k-1\left(k\in \mathbf{N} \right)$ 的数仅有125，故 $9A-1=125$，从而 $A=14$，$t=\frac{1000}{125}=8$，于是 $B=At=112$，因此所求的和为 $14+112=126$．
从而 $A|B$，设 $B=At$，代入式（1）得 $9At=1000+t$．
故 $t=\frac{1000}{9A-1}$，由于 $10\leqslant A\leqslant 99$，故 $89\leqslant 9A-1\leqslant 890$，又1000的不小于89的约数仅有100，125，200，250，500，1000，而其中能表示为 $9k-1\left(k\in \mathbf{N} \right)$ 的数仅有125，故 $9A-1=125$，从而 $A=14$，$t=\frac{1000}{125}=8$，于是 $B=At=112$，因此所求的和为 $14+112=126$．
答案
解析
备注
