三个半径分别为5，5，8的圆两两互相外切，另有一个半径为 $r$ 的圆与该三个圆均外切，令 $r=\frac{m}{n}$，$m$，$n$ 均为正整数，且 $\frac{m}{n}$ 是既约分数，求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
17
【解析】
由于半径为5，5，8的三个圆两两外切，故它们的圆心构成一个三边长为10，13，13的等腰三角形（如图），设 $O$ 为半径为 $r$ 的圆的圆心，故由题意，$OB=OC=r+5$，$OA=r+8$，设 $D$ 为 $AO$ 延长线与 $BC$ 的交点，由 $AB=AC$，$OB=OC$ 知，$AD\bot BC$，从而 $AD=\sqrt{{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=12$，$OD=AD-AO=4-r$．于是由 $O{{B}^{2}}=O{{D}^{2}}+D{{B}^{2}}$ 得 ${{\left(4-r \right)}^{2}}+25={{\left( r+5 \right)}^{2}}$
解得 $r=\frac{8}{9}$，因此 $m+n=9+8=17$．
解得 $r=\frac{8}{9}$，因此 $m+n=9+8=17$．
答案
解析
备注
