$r$ 可以表示为形如 $0.abcd$ 的十进制小数，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 代表 $0\tilde{ }9$ 中的任意一个数字．现有若干分数，这些分数的分母为整数，分子为1或2．这样的一些分数中与 $r$ 最接近的是 $\frac{2}{7}$．那么有多少种可能的 $r$ 的值？
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
417
【解析】
将分母为正整数，分子为1或2的既约分数由大到小排列为 $\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{4}$，…，故由 $r$ 与 $\frac{2}{7}$ 最接近知 $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{4}+\frac{2}{7} \right)<r<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{3} \right)$，即 $0.2679\leqslant r\leqslant 0.3095$．从而 $\overline{abcd}$ 可取2679至3095共有 $3095-2679+1=417$ 个不同的值，故有417种可能的 $r$ 值．
答案
解析
备注
