点 $B$ 是正 $n$ 边形 ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ 外一点，且 ${{A}_{1}}{{A}_{2}}B$ 是一个等边三角形．求 $n$ 的最大值使得 ${{A}_{n}}$，${{A}_{1}}$，$B$ 是一个正多边形的三个连续的顶点．
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
42
【解析】
设 ${{A}_{n}}$，${{A}_{1}}$，$B$ 为正 $m$ 边形的连续三个顶点，于是 $\angle{{A}_{n}}{{A}_{1}}B=\frac{1}{m}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．$\left( m-2 \right)$，又 $\angle{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{A}_{2}}=\frac{1}{n}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( n-2\right)$，$\angle {{A}_{2}}{{A}_{1}}B=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，从而有如图（a）所示，$\angle {{A}_{n}}{{A}_{1}}{{A}_{2}}+\angle{{A}_{2}}{{A}_{1}}B=\angle {{A}_{n}}{{A}_{1}}B$，即 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+\frac{\left( n-2 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{n}=\frac{\left( m-2 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{m}$，亦即 $\frac{1}{n}=\frac{1}{6}+\frac{1}{m}$，从而 $n<6$．
如图（b）所示，$\angle {{A}_{n}}{{A}_{1}}{{A}_{2}}+\angle{{A}_{2}}{{A}_{1}}B+\angle {{A}_{n}}{{A}_{1}}B=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，即 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( n-2\right)}{n}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( m-2 \right)}{m}=2\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$，亦即 $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{6}$，故有 $m\geqslant 7$，从而 $\frac{1}{n}=\frac{1}{6}-\frac{1}{m}\geqslant\frac{1}{42}$，于是 $n=42$，且当 $n=42$ 时，$m=7$．
综上所述，$n$ 的最大值为 $42$．
如图（b）所示，$\angle {{A}_{n}}{{A}_{1}}{{A}_{2}}+\angle{{A}_{2}}{{A}_{1}}B+\angle {{A}_{n}}{{A}_{1}}B=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，即 $\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( n-2\right)}{n}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( m-2 \right)}{m}=2\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$，亦即 $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{6}$，故有 $m\geqslant 7$，从而 $\frac{1}{n}=\frac{1}{6}-\frac{1}{m}\geqslant\frac{1}{42}$，于是 $n=42$，且当 $n=42$ 时，$m=7$．
综上所述，$n$ 的最大值为 $42$．
答案
解析
备注
