一个 $4\times 4$ 的阵列，其每一个元素要么是1，要么是 $-1$，且每一横行及每一竖行的4个数之和均为0．问这种阵列存在有多少种可能的排列方式？
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
90
【解析】
引入下述记号：$\left( i ,j \right)=a$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $a$，其中 $1\leqslant i$，$j\leqslant 4$，$a=1$ 或 $-1$．由题意，每行每列4个数之和为0．故每行每列恰有两个1．由于 $\left( 1 ,1\right)=1$ 与 $\left( 1, 1 \right)=-1$ 时阵列的排列方式一样多，故只需考虑 $\left(1 ,1 \right)=1$ 的情形．
当 $\left( 1, 2\right)=1$ 时，由于 $\left( 2 ,1 \right)$，$\left( 3 ,1\right)$，$\left( 4 ,1 \right)$ 中恰有一个为1，且它们地位均等，故不妨设 $\left( 2 ,1 \right)=1$．此时，若 $\left(2 ,2 \right)=1$，则 $\left( 3 ,3 \right)=\left( 3 ,4 \right)=\left( 4, 3\right)=\left( 4, 4 \right)=1$，有1种排列方式；若 $\left( 2, 3 \right)=1$，则 $\left( 3, 2\right)=\left( 3, 4 \right)=\left( 4 ,3 \right)=\left( 4, 4\right)=1$ 或 $\left( 3 ,3 \right)=\left( 3, 4 \right)=\left( 4, 2\right)=\left( 4 ,4 \right)=1$，有2种排列方式；若 $\left( 2 ,4 \right)=1$，同样有2种排列方式．故当 $\left( 2, 1 \right)=1$ 时有5种排列方式，从而当 $\left(1, 2 \right)=1$ 时有 $3\times 5=15$ 种排列方式．
同理，当 $\left( 1 ,3\right)=1$ 或 $\left( 1 ,4 \right)=1$ 时各有15种排列方式，从而当 $\left( 1 ,1 \right)=1$ 时共有45种排列方式，故所有的排列方式有 $45\times 2=90$ 种．
当 $\left( 1, 2\right)=1$ 时，由于 $\left( 2 ,1 \right)$，$\left( 3 ,1\right)$，$\left( 4 ,1 \right)$ 中恰有一个为1，且它们地位均等，故不妨设 $\left( 2 ,1 \right)=1$．此时，若 $\left(2 ,2 \right)=1$，则 $\left( 3 ,3 \right)=\left( 3 ,4 \right)=\left( 4, 3\right)=\left( 4, 4 \right)=1$，有1种排列方式；若 $\left( 2, 3 \right)=1$，则 $\left( 3, 2\right)=\left( 3, 4 \right)=\left( 4 ,3 \right)=\left( 4, 4\right)=1$ 或 $\left( 3 ,3 \right)=\left( 3, 4 \right)=\left( 4, 2\right)=\left( 4 ,4 \right)=1$，有2种排列方式；若 $\left( 2 ,4 \right)=1$，同样有2种排列方式．故当 $\left( 2, 1 \right)=1$ 时有5种排列方式，从而当 $\left(1, 2 \right)=1$ 时有 $3\times 5=15$ 种排列方式．
同理，当 $\left( 1 ,3\right)=1$ 或 $\left( 1 ,4 \right)=1$ 时各有15种排列方式，从而当 $\left( 1 ,1 \right)=1$ 时共有45种排列方式，故所有的排列方式有 $45\times 2=90$ 种．
答案
解析
备注
