在 ${{\left( ax+b \right)}^{2000}}$ 的展开式中 ${{x}^{2}}$ 与 ${{x}^{3}}$ 的系数相等，其中 $a$，$b$ 为互素的正整数，求 $a+b$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
667
【解析】
由于 ${{\left(ax+b \right)}^{2000}}$ 中 ${{x}^{2}}$ 与 ${{x}^{3}}$ 的系数分别为 $\text{C}_{2000}^{2}{{a}^{2}}{{b}^{1998}}$，$\text{C}_{2000}^{3}{{a}^{3}}{{b}^{1997}}$，
于是由题意有 $\text{C}_{2000}^{2}{{a}^{2}}{{b}^{1998}}=\text{C}_{2000}^{3}{{a}^{3}}{{b}^{1997}}$，
于是 $\frac{a}{b}=\frac{\text{C}_{2000}^{2}}{\text{C}_{2000}^{3}}=\frac{1}{666}$．
故 $a+b=1+666=667$．
于是由题意有 $\text{C}_{2000}^{2}{{a}^{2}}{{b}^{1998}}=\text{C}_{2000}^{3}{{a}^{3}}{{b}^{1997}}$，
于是 $\frac{a}{b}=\frac{\text{C}_{2000}^{2}}{\text{C}_{2000}^{3}}=\frac{1}{666}$．
故 $a+b=1+666=667$．
答案
解析
备注
