有序整数对 $\left( x, y \right)$ 满足 $0<x<y<{{10}^{6}}$，且 $x$，$y$ 的算术平均值比 $x$，$y$ 的几何平均值多2．问有多少对满足上述条件的 $\left( x ,y \right)$？
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
997
【解析】
由题意知 $\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=2$，
故 ${{\left(\sqrt{y}-\sqrt{x} \right)}^{2}}=4$．
由 $0<x<y$ 得 $\sqrt{y}-\sqrt{x}=2$．
于是 $y={{\left(\sqrt{x}+2 \right)}^{2}}=x+4+4\sqrt{x}\in \mathbf{N}$，
故存在 $a\in\mathbf{N}$ 使得 $x={{a}^{2}}$，从而 $y={{\left( a+2 \right)}^{2}}$．
由于 $0<x<y<{{10}^{6}}$，故 $0<a$ 且 $a+2<{{10}^{3}}=1000$，于是 $1\leqslant a\leqslant 997$．因此有997个不同的 $a$ 的值，即有997对满足条件的 $\left( x ,y \right)$．
故 ${{\left(\sqrt{y}-\sqrt{x} \right)}^{2}}=4$．
由 $0<x<y$ 得 $\sqrt{y}-\sqrt{x}=2$．
于是 $y={{\left(\sqrt{x}+2 \right)}^{2}}=x+4+4\sqrt{x}\in \mathbf{N}$，
故存在 $a\in\mathbf{N}$ 使得 $x={{a}^{2}}$，从而 $y={{\left( a+2 \right)}^{2}}$．
由于 $0<x<y<{{10}^{6}}$，故 $0<a$ 且 $a+2<{{10}^{3}}=1000$，于是 $1\leqslant a\leqslant 997$．因此有997个不同的 $a$ 的值，即有997对满足条件的 $\left( x ,y \right)$．
答案
解析
备注
