两个盒中都装有黑、白两种弹子，两盒中弹子总数为25，每次随机从每一个盒中取出一颗弹子，两颗弹子都为黑色的概率为 $\frac{27}{50}$，都为白色的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
26
【解析】
设两个盒子中弹子数分别为 $a$，$b$，黑弹子数分别为 $x$，$y$，于是有 $0\leqslant x\leqslant a$，$0\leqslant y\leqslant b$ 且 $a+b=25$，$ab\ne 0$．由题意有 $\frac{x}{a}\cdot \frac{y}{b}=\frac{27}{50}$．
于是 $ab=50k$，$xy=27k$，其中 $k\in\mathbf{N}$．
由于 $a+b=25$，故 $ab\leqslant{{\left( \frac{25}{2} \right)}^{2}}<150$，
从而 $k=1$ 或2．
当 $k=1$ 时，$a$，$b$ 满足 $\left\{\begin{align}
& ab=50 \\
& a+b=25. \\
\end{align}\right.$ 但此方程组无整数解；
当 $k=2$ 时，$\left\{\begin{align}
& ab=100 \\
& a+b=25. \\
\end{align}\right.$ 故不妨设 $a=5$，$b=20$，又因为 $xy=27k=54$ 且 $x\leqslant a=5$，$y\leqslant b=20$，故 $x=3$，$y=18$．
因此，两颗取出的弹子全为白色的概率为 $\left(1-\frac{3}{5} \right)\left( 1-\frac{18}{20} \right)=\frac{1}{25}$，从而 $m+n=1+25=26$．
于是 $ab=50k$，$xy=27k$，其中 $k\in\mathbf{N}$．
由于 $a+b=25$，故 $ab\leqslant{{\left( \frac{25}{2} \right)}^{2}}<150$，
从而 $k=1$ 或2．
当 $k=1$ 时，$a$，$b$ 满足 $\left\{\begin{align}
& ab=50 \\
& a+b=25. \\
\end{align}\right.$ 但此方程组无整数解；
当 $k=2$ 时，$\left\{\begin{align}
& ab=100 \\
& a+b=25. \\
\end{align}\right.$ 故不妨设 $a=5$，$b=20$，又因为 $xy=27k=54$ 且 $x\leqslant a=5$，$y\leqslant b=20$，故 $x=3$，$y=18$．
因此，两颗取出的弹子全为白色的概率为 $\left(1-\frac{3}{5} \right)\left( 1-\frac{18}{20} \right)=\frac{1}{25}$，从而 $m+n=1+25=26$．
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解析
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