一叠纸牌共2000张，每张牌上都标有一个数，数从1到2000．这叠牌并不是按为数的大小顺序排列的，现将这叠牌中最上面的一张取出放在桌上，而将第二张牌移到这叠牌的最下面．再将剩下的这叠牌中的第一张移到桌上，并放在桌上那张牌的右边．同样将那叠牌的第二张移到这叠牌的最下面．这个过程不断重复直到所有牌都已放在桌上为止，然后发现从左往右数，牌上数字大小是依次上升的：1，2，3，…，1999，2000．问在原来的那叠牌中，有多少张牌在标有数1999的牌的上面？
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
927
【解析】
将这叠纸牌（共2000张）从上至下依次记为 $1$ 号，$2$ 号，$\cdots$，$2000$ 号．将 $1$，$2$，$\cdots$，$2000$ 排在一个圆周上，我们取第一项1，然后每隔一个数取一个数，得到一个序列 $A$，则由题意可知，最后桌上牌的号码按序列 $A$ 排列．
由于对 $1$，$2$，$\cdots$，${{2}^{n}}\left(n\in \mathbf{N} \right)$，从 $1$ 起每隔一项取一项产生的序列 $A$ 满足；$A$ 的最后一项为 ${{2}^{n}}$，倒数第二项为 ${{2}^{n-1}}$，故我们可证对 $1$，$2$，$\cdots$，$2000$ 产生的序列 $A$，其倒数第二项为 $928$．事实上，由于序列 $A$ 的前 $1000$ 项为 $1$，$3$，$5$，$\cdots$ $\cdots$，$1999$，故取了 $976$ 个数后，圆周上剩下 $1024$ 个数：$1953$，$1954$，$\cdots$，$1999$，$2000$，$2$，$4$，$6$，$8$，$\cdots$，$1952$，且下一个取 $1953$，然后再每隔一个取一个数，故由 $1$，$2$，$\cdots$，${{2}^{n}}$ 产生的序列 $A$ 类比知，倒数第二项为 $1953$，$1954$，$\cdots$，$2000$，$2$，$4$，$\cdots$，$1952$ 中的第 $512$ 项，即 $928$．
因此，标号为 $928$ 的牌上写的数为 $1999$，从而该牌上有 $927$ 张牌．
由于对 $1$，$2$，$\cdots$，${{2}^{n}}\left(n\in \mathbf{N} \right)$，从 $1$ 起每隔一项取一项产生的序列 $A$ 满足；$A$ 的最后一项为 ${{2}^{n}}$，倒数第二项为 ${{2}^{n-1}}$，故我们可证对 $1$，$2$，$\cdots$，$2000$ 产生的序列 $A$，其倒数第二项为 $928$．事实上，由于序列 $A$ 的前 $1000$ 项为 $1$，$3$，$5$，$\cdots$ $\cdots$，$1999$，故取了 $976$ 个数后，圆周上剩下 $1024$ 个数：$1953$，$1954$，$\cdots$，$1999$，$2000$，$2$，$4$，$6$，$8$，$\cdots$，$1952$，且下一个取 $1953$，然后再每隔一个取一个数，故由 $1$，$2$，$\cdots$，${{2}^{n}}$ 产生的序列 $A$ 类比知，倒数第二项为 $1953$，$1954$，$\cdots$，$2000$，$2$，$4$，$\cdots$，$1952$ 中的第 $512$ 项，即 $928$．
因此，标号为 $928$ 的牌上写的数为 $1999$，从而该牌上有 $927$ 张牌．
答案
解析
备注
