数1，2，3，4，5，6，7和8随机的写在正八面体的8个面上，使得每个面上的数都不相同．若任意有一条公共边的两个面上的数都不相邻（1，8视为相邻的数）的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
85
【解析】
随机选择八面体中的一个面，并标上数1，我们把与这个面相邻的另外三个面叫 $A$ 面．与 $A$ 相邻的另外三个面叫 $B$ 面．与 $B$ 面相邻的另一个面叫 $C$ 面．显然，$A$ 面上的数字只可能在 $\left\{ 3,4,5,6,7 \right\}$ 中选择，故对三个 $A$ 面标数字的方式共有 $5\cdot4\cdot 3=60$ 种．$B$ 面和 $C$ 面上的数字只能是对 $A$ 面标数后剩下的数加上2和8．且 $C$ 面上的数字不能与 $B$ 面上的任一个数字相邻．
我们很容易计算出剩下的4个数只能组合出10种可能性：
$2348\left(2678 \right)$：$8\left( 2 \right)$ 是唯一一个不与其他数字相邻的，故用它来标 $C$ 面．$4\left( 6 \right)$ 只能标 $B$ 面中的某一固定面，然而2与3（7与8）可以任意的标另外两个面．故有两种可能性．
$2358\left(2578 \right):5$ 不能用来标 $B$ 面，故只能标 $C$ 面．3和8（2和7）只有一种情况标 $B$ 面满足条件．故有一种可能性．
$2368\left(2478 \right):6\left( 4 \right)$ 不能用来标 $B$ 面，所以只能标 $C$ 面．3和8（2和7）只有一种情况标 $B$ 面满足条件，故有一种可能性．
$2458\left(2568 \right)$：它们只能有一个用来表 $B$ 面，2和4（6和8）可以标相同的面，但必须有一个标 $C$ 面．只有 $2\left( 8 \right)$ 不与其他任何数字相邻，故它用来标 $C$ 面，故只有一种可能性．
$2378$：它们中任何一个数字都不能标 $C$ 面，否则将与 $B$ 面的数字相邻，故这种情况下无法满足题目条件．
2468：4和6不能用来标 $B$ 面．它们也不能都用来标 $C$ 面，故这种情况下无法满足题目条件．
所以，在给定八面体中标出数字1后，共有10种可能存在的情况，每种情况又有 $3!=6$ 种不同的排列方式，所以总共有 $60$ 种方式符合题目条件．然而有 $7!=5040$ 种随机标数字的情况．所以概率为 $\frac{60}{5040}=\frac{1}{84}$．故答案为85．
我们很容易计算出剩下的4个数只能组合出10种可能性：
$2348\left(2678 \right)$：$8\left( 2 \right)$ 是唯一一个不与其他数字相邻的，故用它来标 $C$ 面．$4\left( 6 \right)$ 只能标 $B$ 面中的某一固定面，然而2与3（7与8）可以任意的标另外两个面．故有两种可能性．
$2358\left(2578 \right):5$ 不能用来标 $B$ 面，故只能标 $C$ 面．3和8（2和7）只有一种情况标 $B$ 面满足条件．故有一种可能性．
$2368\left(2478 \right):6\left( 4 \right)$ 不能用来标 $B$ 面，所以只能标 $C$ 面．3和8（2和7）只有一种情况标 $B$ 面满足条件，故有一种可能性．
$2458\left(2568 \right)$：它们只能有一个用来表 $B$ 面，2和4（6和8）可以标相同的面，但必须有一个标 $C$ 面．只有 $2\left( 8 \right)$ 不与其他任何数字相邻，故它用来标 $C$ 面，故只有一种可能性．
$2378$：它们中任何一个数字都不能标 $C$ 面，否则将与 $B$ 面的数字相邻，故这种情况下无法满足题目条件．
2468：4和6不能用来标 $B$ 面．它们也不能都用来标 $C$ 面，故这种情况下无法满足题目条件．
所以，在给定八面体中标出数字1后，共有10种可能存在的情况，每种情况又有 $3!=6$ 种不同的排列方式，所以总共有 $60$ 种方式符合题目条件．然而有 $7!=5040$ 种随机标数字的情况．所以概率为 $\frac{60}{5040}=\frac{1}{84}$．故答案为85．
答案
解析
备注
