某一高中共有2001名学生，其中每一位学生要么修西班牙语，要么修法语，要么两种都修．修西班牙语的人数占总人数的 $80%$ 到 $85%$，修法语的人数占总人数的 $30%$ 到 $40%$．设 $m$ 和 $M$ 分别表示同时修这两种语言的学生人数的最大值与最小值．求 $M-m$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
298
【解析】
设 $s$ 是修西班牙语但不修法语的学生数，$f$ 是修法语但不修西班牙语的学生数，$b$ 为两种语言都学的学生人数．由题意知
$1600.8<s+b<1700.85$，$600.3<f+b<800.4$．
把后面两个不等式相加得到 $2202\leqslant s+f+2b\leqslant 2500$．因为 $s+f+b=2001$，故 $201\leqslant b\leqslant 499$．
另一方面，三元数组 $\left( s , f, b \right)=\left( 1400 ,400 ,201 \right)$ 及 $\left( s , f ,b \right)=\left( 120 ,301 ,499 \right)$ 说明 $m=201$，$M=499$，故 $M-m=298$．
$1600.8<s+b<1700.85$，$600.3<f+b<800.4$．
把后面两个不等式相加得到 $2202\leqslant s+f+2b\leqslant 2500$．因为 $s+f+b=2001$，故 $201\leqslant b\leqslant 499$．
另一方面，三元数组 $\left( s , f, b \right)=\left( 1400 ,400 ,201 \right)$ 及 $\left( s , f ,b \right)=\left( 120 ,301 ,499 \right)$ 说明 $m=201$，$M=499$，故 $M-m=298$．
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备注
