杀手队在某一足球联盟中要和其他六个队中的每一队都要比赛一次．已知杀手队在六次比赛中任何一次比赛打胜、打败或成平手的概率都是 $\frac{1}{3}$．设杀手队在打完这六场比赛后，打胜的次数多于打败次数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
341
【解析】
队伍赢的比输的更多的概率 $P$ 就等于其输的比赢的更多的概率，因此 $P=\frac{1}{2}\left( 1-S \right)$，其中 $S$ 为杀手队赢输场次相等的概率．赢三场输三场概率为 $\text{C}_{6}^{3}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{6}}$，赢两场输两场的概率为 $\text{C}_{6}^{2}\text{C}_{4}^{2}{{\left(\frac{1}{3} \right)}^{6}}$，赢一场输一场的概率为 $\text{C}_{6}^{1}\text{C}_{5}^{1}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{6}}$，没有赢过也没有输过的概率为 ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{6}}$．
故 $S=\left( 20+90+30+1\right){{\left( \frac{1}{3} \right)}^{6}}=\frac{141}{729}=\frac{47}{243}$，因此 $P=\frac{1}{2}\cdot\left( 1-\frac{47}{243} \right)=\frac{98}{243}$，故 $m+n=341$．
故 $S=\left( 20+90+30+1\right){{\left( \frac{1}{3} \right)}^{6}}=\frac{141}{729}=\frac{47}{243}$，因此 $P=\frac{1}{2}\cdot\left( 1-\frac{47}{243} \right)=\frac{98}{243}$，故 $m+n=341$．
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