如图所示，在一个封闭的长方形中，有20个等圆排列成三行，相邻的圆相切，且第一行和第三行的圆与长方形的长和宽相切．设长方形的长、宽之比为 $\frac{1}{2}\left( \sqrt{p-q} \right)$，其中 $p, q\in {{\mathbf{Z}}^{+}}$．求 $p+q$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
154
【解析】
设 $r$ 为每个小圆的半径，$l$，$w$ 分别是长方形的长和宽，且 $l>w$，由题知 $14r=l$．考虑这样一个等边三角形，它的顶点是三个彼此相切的圆的圆心，这样一个等边三角形的高为 $r\sqrt{3}$，因此 $w=2r+2r\sqrt{3}$，由此推出 $\frac{l}{w}=\frac{14r}{2r\left( 1+\sqrt{3} \right)}=\frac{7\left(\sqrt{3}-1 \right)}{2}=\frac{\sqrt{147}-7}{2}$．
因此 $p+q=154$．
因此 $p+q=154$．
答案
解析
备注
