考虑这样一个数列 ${{a}_{k}}=\frac{1}{{{k}^{2}}+k}$，其中 $k\geqslant 1$．若 ${{a}_{m}}+{{a}_{m+1}}+\cdots +{{a}_{n-1}}=\frac{1}{29}$，其中 $m$，$n$ 为正整数，且 $m<n$．求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
2002年第20届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
840
【解析】
因为 $\frac{1}{{{k}^{2}}+k}=\frac{1}{k\left( k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，利用裂项求和，得到
$\frac{1}{29}={{a}_{m}}+{{a}_{m+1}}+\cdots+{{a}_{n-1}}$
$=\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)+\left( \frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2} \right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)$，
因此 $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{29}$．因为 $m$，$n$ 均不为0，那么上式等价于 $mn+29m-29n=0$，我们得到 $\left( m-29 \right)\left( n+29 \right)=-{{29}^{2}}$，即 $\left(29-m \right)\left( 29+n \right)={{29}^{2}}$．因为29是素数，$29+n>29-m$，推出 $29-m=1$，$29+n={{29}^{2}}$，因此，$m=28$，$n={{29}^{2}}-29$，即 $m+n={{29}^{2}}-1=30\cdot 28=840$．
$\frac{1}{29}={{a}_{m}}+{{a}_{m+1}}+\cdots+{{a}_{n-1}}$
$=\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)+\left( \frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2} \right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)$，
因此 $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{29}$．因为 $m$，$n$ 均不为0，那么上式等价于 $mn+29m-29n=0$，我们得到 $\left( m-29 \right)\left( n+29 \right)=-{{29}^{2}}$，即 $\left(29-m \right)\left( 29+n \right)={{29}^{2}}$．因为29是素数，$29+n>29-m$，推出 $29-m=1$，$29+n={{29}^{2}}$，因此，$m=28$，$n={{29}^{2}}-29$，即 $m+n={{29}^{2}}-1=30\cdot 28=840$．
答案
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备注
