半径为 $1\tilde{ }100$ 的100个同心圆，从里到外红绿间隔染色（先染红色），所有被染了绿色的区域的面积之和与最大圆的面积之比为 $\frac{m}{n}$，其 $m n$ 是互素的正整数，求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
301
【解析】
设绿色区域的面积为 $S$，则有
$S=\left( \left({{2}^{2}}-{{1}^{2}} \right)+\left( {{4}^{2}}-{{3}^{2}} \right)+\cdots \left({{100}^{2}}-{{99}^{2}} \right) \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$
$=\left(1+2+\cdots +100 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ =}5050\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$．
因此 $\frac{m}{n}=\frac{5050\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{{{100}^{2}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}=\frac{101}{200}$，故 $m+n=301$．
$S=\left( \left({{2}^{2}}-{{1}^{2}} \right)+\left( {{4}^{2}}-{{3}^{2}} \right)+\cdots \left({{100}^{2}}-{{99}^{2}} \right) \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$
$=\left(1+2+\cdots +100 \right)\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ =}5050\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }$．
因此 $\frac{m}{n}=\frac{5050\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{{{100}^{2}}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}=\frac{101}{200}$，故 $m+n=301$．
答案
解析
备注
