单位立方体的顶点组合的所有三角形面积之和为 $m+\sqrt{n}+\sqrt{p}$，$m n$，$p\in {{\mathbf{Z}}^{+}}$，求 $m+n+p$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
384
【解析】
三角形的边是可能是立方体的边长，长度为 $\sqrt{2}$ 的面对角线或者长度为 $\sqrt{3}$ 的体对角线，这些三角形或者是由两个邻边和一个面对角线构成或有三个面对角线构成，或者由立方体的一边长，一面对角线和一体对角线．第一种类型的三角形面积是 $\frac{1}{2}$，数目是24个，第二种类型的三角形是等边三角形且面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，数目是8个，因为对立方体的8个顶点中的每一个，与其相邻的三个顶点都确定这样一个三角形；最后一类面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，总共24个，因为有4条体对角线，每一条体对角线对应6个三角形．因此，所求的体积和为 $24\times \frac{1}{2}+8\times\frac{\sqrt{3}}{2}+24\times\frac{\sqrt{2}}{2}=12+4\sqrt{3}+12\sqrt{2}=12+\sqrt{48}+\sqrt{288}$，即 $m+n+p=348$．
答案
解析
备注
