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在正三棱锥 $P-ABC$ 中，$M$ 为 $\triangle ABC$ 内（含边界）一动点，且点 $M$ 到三个侧面 $PAB,PBC,PCA$ 的距离成等差数列，则点 $M$ 的轨迹是 \((\qquad)\) 。
A: 一条折线段
B: 一条线段
C: 一段圆弧
D: 一段抛物线
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    轨迹问题
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    空间几何体的形体分析
    >
    空间几何体的体积
【答案】
B
【解析】
因为三个侧面 $PAB,PBC,PCA$ 的面积相等，且点 $M$ 到这三个侧面的距离成等差数列，所以$$V_{M-PAB}+V_{M-PCA}=2V_{M-PBC},$$故$$V_{P-ABC}=3V_{M-PBC},$$即$$V_{M-PBC}=\dfrac 13 V_{A-PBC},$$则点 $M$ 的轨迹是经过 $\triangle{ABC}$ 的重心并与 $BC$ 平行的一条线段．
题目 答案 解析 备注
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