4个递增正整数，前3个形成等差数列，后3个形成等比数列，第1个与第4个相差30，求4个数之和．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
129
【解析】
设 $a a+d a+2d$ 和 $\frac{{{\left( a+2d\right)}^{2}}}{a+d}$ 为数列的各项，其中 $a$ 为正整数，则 $\left( a+30 \right)\left(a+d \right)={{\left( a+2d \right)}^{2}}$，作恒等变换得 $3a\left( 10-d\right)=2d\left( 2d-15 \right)$，所以 $\left\{ \begin{align}
&10-d>0 \\
&2d-15>0 \\
\end{align} \right.$ 或者 $\left\{ \begin{align}&10-d<0 \\
&2d-15<0 \\
\end{align} \right.$．第一种情况下 $d$ 为8或9，第二种情况下无解．当 $d=8$ 时，$a=\frac{8}{3}$，不符合题意；当 $d=9$ 时推出 $a=18$，所以唯一的数列为 $18 27 36 48$，其和为129．
&10-d>0 \\
&2d-15>0 \\
\end{align} \right.$ 或者 $\left\{ \begin{align}&10-d<0 \\
&2d-15<0 \\
\end{align} \right.$．第一种情况下 $d$ 为8或9，第二种情况下无解．当 $d=8$ 时，$a=\frac{8}{3}$，不符合题意；当 $d=9$ 时推出 $a=18$，所以唯一的数列为 $18 27 36 48$，其和为129．
答案
解析
备注
