若 $m ,n\in {{\mathbf{Z}}^{+}}$，$\left( m, n \right)=1$，$m<n$，$\frac{m}{n}$ 的小数表示中包含按2，5，1顺序连续出现的数字，求 $n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
127
【解析】
不妨设 $\frac{m}{n}=0.A251\cdots $，此处 $A$ 为 $k$ 为数字组成的一个“段”，$k\geqslant 0$，有 ${{10}^{k}}\frac{m}{n}-A=0.251\cdots$，即 $0.251n\leqslant{{10}^{k}}m-nA<0.252n$，故在 $0.251n$ 和 $0.252n$ 之间存在一个整数，设其为 $t$．将不等式两边同时乘以4得 $1.004n\leqslant 4t<1.008n$，因此 $0.004n\leqslant 4t-n<0.008n$，这说明 $0.008n>1$，即 $n\geqslant 126$．经检验，当 $n=126$ 时，$0.251n$ 和 $0.252n$ 之间不存在整数，当 $n=127$ 时，$0.251n$ 和 $0.252n$ 之间存在整数32，故 $n$ 的最小值为127（例如，令 $m=32$ 即有 $\frac{m}{n}=0.251\cdots $）．
答案
解析
备注
