一个学校社团投票选举社长，有27个候选人，每个成员（包括候选人）只能投一票，支持其中的一位．对于每个候选人，他的得票率的100倍至少比他的票数少1．这个社团至少有多少人？
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
134
【解析】
设 $t$ 为社团的总人数，${{n}_{k}}$ 为第 $k$ 名候选人的得票数，${{p}_{k}}$ 为第 $k$ 名候选人的得票率，其中 $k=1,2,\cdots,27$．
由定义知 ${{p}_{k}}=\frac{{{n}_{k}}}{t}$，由条件知 ${{n}_{k}}\ge100{{p}_{k}}+1=\frac{100{{n}_{k}}}{t}+1$，即 $\left( t-100\right){{n}_{k}}\geqslant t$，因此 ${{n}_{k}}\geqslant \frac{t}{t-100}$，故 ${{n}_{k}}\geqslant \left[\frac{t}{t-100} \right]$．
对 $k=1 \\ 2 \cdots 27$ 求和，得 $t\leqslant 27\left[ \frac{t}{t-100} \right]$．
但是当 $t\leqslant 133$ 时，$\frac{t}{t-100}=1+\frac{100}{t-100}\ge1+\frac{100}{33}>4$，因此 $27\left[ \frac{t}{t-100} \right]\geqslant 27\times5=135>t$，与上式矛盾．所以社团人数的最小值为 $134$．
当 $t=134$ 时，一个候选人得 $30$ 票，其他 $26$ 人每人得 $4$ 票，此时满足题目条件．
由定义知 ${{p}_{k}}=\frac{{{n}_{k}}}{t}$，由条件知 ${{n}_{k}}\ge100{{p}_{k}}+1=\frac{100{{n}_{k}}}{t}+1$，即 $\left( t-100\right){{n}_{k}}\geqslant t$，因此 ${{n}_{k}}\geqslant \frac{t}{t-100}$，故 ${{n}_{k}}\geqslant \left[\frac{t}{t-100} \right]$．
对 $k=1 \\ 2 \cdots 27$ 求和，得 $t\leqslant 27\left[ \frac{t}{t-100} \right]$．
但是当 $t\leqslant 133$ 时，$\frac{t}{t-100}=1+\frac{100}{t-100}\ge1+\frac{100}{33}>4$，因此 $27\left[ \frac{t}{t-100} \right]\geqslant 27\times5=135>t$，与上式矛盾．所以社团人数的最小值为 $134$．
当 $t=134$ 时，一个候选人得 $30$ 票，其他 $26$ 人每人得 $4$ 票，此时满足题目条件．
答案
解析
备注
