$n$ 条线段 ${{P}_{1}}{{P}_{2}}$，${{P}_{2}}{{P}_{3}}$，…，${{P}_{n}}{{P}_{1}}$ 相交成一个正 $n$ 角星，当且仅当它们满足下列条件：
（1）点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，…，${{P}_{n}}$ 在同一平面上，且任三点不共线；
（2）这 $n$ 条线段中的任一条至少与其他线段中的某一条有一个公共内点；
（3）点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，…，${{P}_{n}}$ 处的角相等；
（4）线段 ${{P}_{1}}{{P}_{2}}$，${{P}_{2}}{{P}_{3}}$，…，${{P}_{n}}{{P}_{1}}$ 长度相等；
（5）在每个顶点处，${{P}_{1}}{{P}_{2}}$，${{P}_{2}}{{P}_{3}}$，…，${{P}_{n}}{{P}_{1}}$ 的轨迹以小于180度的角沿逆时针方向运行。
没有正三角星、正四角星、正六角星，所有的正五角星彼此相似，但有两个互不相似的正七角星。求有多少个毫不相似的正 $1000$ 角星。
（1）点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，…，${{P}_{n}}$ 在同一平面上，且任三点不共线；
（2）这 $n$ 条线段中的任一条至少与其他线段中的某一条有一个公共内点；
（3）点 ${{P}_{1}}$，${{P}_{2}}$，…，${{P}_{n}}$ 处的角相等；
（4）线段 ${{P}_{1}}{{P}_{2}}$，${{P}_{2}}{{P}_{3}}$，…，${{P}_{n}}{{P}_{1}}$ 长度相等；
（5）在每个顶点处，${{P}_{1}}{{P}_{2}}$，${{P}_{2}}{{P}_{3}}$，…，${{P}_{n}}{{P}_{1}}$ 的轨迹以小于180度的角沿逆时针方向运行。
没有正三角星、正四角星、正六角星，所有的正五角星彼此相似，但有两个互不相似的正七角星。求有多少个毫不相似的正 $1000$ 角星。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
199
【解析】
显然点 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ 不共线，不妨设这三个点确定的圆为 $C$ 。由于线段的轨迹在 ${{P}_{2}}$ 点和 ${{P}_{3}}$ 点处均以小于 ${{180}^{\circ }}$ 的角沿逆时针方向运行，故点 ${{P}_{1}}$ 和 ${{P}_{4}}$ 必定在线段 ${{P}_{2}}{{P}_{3}}$ 的同侧。
注意到 $\angle{{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}=\angle {{P}_{2}}{{P}_{3}}{{P}_{4}}$，${{P}_{1}}{{P}_{2}}={{P}_{2}}{{P}_{3}}={{P}_{3}}{{P}_{4}}$，故 ${{P}_{1 }},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}}$ 四点共圆，即点 ${{P}_{4}}$ 在圆 $C$ 上。同理可推出 ${{P}_{5}},{{P}_{6}},\ldots,{{P}_{n}}$ 都在圆 $C$ 上。
由劣弧 $\overset\frown{{{P}_{1}},{{P}_{2}}},\overset\frown{{{P}_{2}},{{P}_{3}}},\ldots,\overset\frown{{{P}_{n}}{{P}_{1}}}$ 两两相等可知点尽 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},\ldots {{P}_{n}}$ 均匀地分布在圆 $C$ 上。
因此可以先作一个圆，在其上均匀地选取 $n$ 个点（即选取这个圆的内接正 $n$ 边形的顶点），然后再对这些顶点进行标号来构造合适的正 $n$ 角星。
不妨设正 $n$ 边形的顶点按照圆上的逆时针顺序依次为 ${{Q}_{0}},{{Q}_{1}},\ldots,{{Q}_{n-1}}$，并可设 ${{P}_{n}}={{Q}_{0}}$，那么 ${{P}_{1}}$ 的选择将决定 ${{P}_{2 }},{{P}_{3}},\ldots {{P}_{n-1}}$，设 ${{P}_{1}}={{Q}_{k}}$ 。
由条件（5）得 $k <\frac{n}{2}$，由条件（1）得 $\left( k,n \right)=1$，由条件（2）得因 $k>1$ 。因此对于不小于 $3$ 的整数 $n$，互不相似的正 $n$ 角星的个数等于区间 $\left( 1 \frac{n}{2}\right)$ 上与 $n$ 互素的整数的个数，即等于 $\frac{\varphi \left( n\right)}{2}-1$ 。特别地，有 $\frac{\varphi\left( 1000 \right)}{2}-1=\frac{400}{2}-1=199$ 个互不相似的正 $n$ 角星。
注意到 $\angle{{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}=\angle {{P}_{2}}{{P}_{3}}{{P}_{4}}$，${{P}_{1}}{{P}_{2}}={{P}_{2}}{{P}_{3}}={{P}_{3}}{{P}_{4}}$，故 ${{P}_{1 }},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}}$ 四点共圆，即点 ${{P}_{4}}$ 在圆 $C$ 上。同理可推出 ${{P}_{5}},{{P}_{6}},\ldots,{{P}_{n}}$ 都在圆 $C$ 上。
由劣弧 $\overset\frown{{{P}_{1}},{{P}_{2}}},\overset\frown{{{P}_{2}},{{P}_{3}}},\ldots,\overset\frown{{{P}_{n}}{{P}_{1}}}$ 两两相等可知点尽 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},\ldots {{P}_{n}}$ 均匀地分布在圆 $C$ 上。
因此可以先作一个圆，在其上均匀地选取 $n$ 个点（即选取这个圆的内接正 $n$ 边形的顶点），然后再对这些顶点进行标号来构造合适的正 $n$ 角星。
不妨设正 $n$ 边形的顶点按照圆上的逆时针顺序依次为 ${{Q}_{0}},{{Q}_{1}},\ldots,{{Q}_{n-1}}$，并可设 ${{P}_{n}}={{Q}_{0}}$，那么 ${{P}_{1}}$ 的选择将决定 ${{P}_{2 }},{{P}_{3}},\ldots {{P}_{n-1}}$，设 ${{P}_{1}}={{Q}_{k}}$ 。
由条件（5）得 $k <\frac{n}{2}$，由条件（1）得 $\left( k,n \right)=1$，由条件（2）得因 $k>1$ 。因此对于不小于 $3$ 的整数 $n$，互不相似的正 $n$ 角星的个数等于区间 $\left( 1 \frac{n}{2}\right)$ 上与 $n$ 互素的整数的个数，即等于 $\frac{\varphi \left( n\right)}{2}-1$ 。特别地，有 $\frac{\varphi\left( 1000 \right)}{2}-1=\frac{400}{2}-1=199$ 个互不相似的正 $n$ 角星。
答案
解析
备注
