一个圆锥高为 $4$，底面半径为 $3$，它的表面被涂上了油漆。有一平行于底面的平面把该圆锥截为一个略小的圆锥 $C$ 和个圆台 $F$，截得的圆锥 $C$ 涂油漆的面积与圆台 $F$ 涂油漆的面积之比为 $k$，圆锥 $C$ 与圆台 $F$ 的体积之比也是 $k$ 。假设 $k=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
512
【解析】
依题意，小圆锥与大圆锥的体积之比为 $\frac{m}{m+n}$，涂上油漆的面积之比也为 $\frac{m}{m+n}$ 。设小圆锥的高为 $h$，则两个圆锥的体积比为 ${{\left( \frac{h}{4}\right)}^{3}}$ 。注意到大圆锥的母线长为 $\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$，故其侧面积为 $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot 3 \right)=15\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}$，底面积为 $\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot {{3}^{2}}=9\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，因此两个圆锥涂上的油漆面积之比为 $\frac{15\pi \cdot {{\left(\frac{h}{4} \right)}^{2}}}{15\pi +9\pi }=\frac{5}{8}\cdot {{\left( \frac{h}{4}\right)}^{2}}$，故 ${{\left(\frac{h}{4} \right)}^{3}}=\frac{5}{8}\cdot {{\left( \frac{h}{4} \right)}^{2}}$，解得 $h=\frac{5}{2}$ 。故 $\frac{m}{m+n}=\frac{125}{512}$，即 $m+n=512$ 。
答案
解析
备注
