令 $S$ 是满足 $0\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 1$，且 $\left[ {{\log }_{2}}\left( \frac{1}{x} \right) \right]$ 与 $\left[ {{\log }_{5}}\left( \frac{1}{y} \right) \right]$ 均为偶数的坐标 $\left( x, y \right)$ 组成的集合。
假设集合 $S$ 表示的图形面积为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。 $\left[ z \right]$ 表示小于或等于实数 $z$ 的最大整数。
假设集合 $S$ 表示的图形面积为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。 $\left[ z \right]$ 表示小于或等于实数 $z$ 的最大整数。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
14
【解析】
设 $\left[{{\log }_{2}}\left( \frac{1}{x} \right) \right]=2k$，其中 $k$ 是整数，易知 $k$ 非负。
故 $2k\leqslant {{\log }_{2}}\left(\frac{1}{x} \right)2k+1$，即 ${{2}^{2k}}\leqslant \frac{1}{x}{{2}^{2k+1}}$，即 $\frac{1}{{{2}^{2k+1}}}\leqslant x\leqslant \frac{1}{{{2}^{2k}}}$ 。
因此 $x$ 的取值范围为 $\left( \frac{1}{2} ,1\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}, \frac{1}{{{2}^{3}}}\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{2}^{4}}}, \frac{1}{{{2}^{5}}} \right]\bigcup\ldots $ 。
同理，$y$ 的取值范围为 $\left( \frac{1}{5} ,1\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{5}^{2}}} ,\frac{1}{{{5}^{3}}}\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{5}^{4}}} ,\frac{1}{{{5}^{5}}}\right]\bigcup \ldots $，依题意知 $S$ 所表示的图形是无穷多个小矩形，它们的面积之和为
$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\sum\limits_{j=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{{{2}^{2i}}}-\frac{1}{{{2}^{2i+1}}} \right)\left(\frac{1}{{{5}^{2j}}}-\frac{1}{{{5}^{2j+1}}} \right)}}$
$\displaystyle =\sum\limits_{i=0}^{\infty}{\left( \frac{1}{{{2}^{2i}}}-\frac{1}{{{2}^{2i+1}}} \right)}\cdot\sum\limits_{i=0}^{\infty }{\left( \frac{1}{{{5}^{2j}}}-\frac{1}{{{5}^{2j+1}}}\right)}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{9}$ 。
故 $m+n=14$ 。
故 $2k\leqslant {{\log }_{2}}\left(\frac{1}{x} \right)2k+1$，即 ${{2}^{2k}}\leqslant \frac{1}{x}{{2}^{2k+1}}$，即 $\frac{1}{{{2}^{2k+1}}}\leqslant x\leqslant \frac{1}{{{2}^{2k}}}$ 。
因此 $x$ 的取值范围为 $\left( \frac{1}{2} ,1\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{2}^{2}}}, \frac{1}{{{2}^{3}}}\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{2}^{4}}}, \frac{1}{{{2}^{5}}} \right]\bigcup\ldots $ 。
同理，$y$ 的取值范围为 $\left( \frac{1}{5} ,1\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{5}^{2}}} ,\frac{1}{{{5}^{3}}}\right]\bigcup \left( \frac{1}{{{5}^{4}}} ,\frac{1}{{{5}^{5}}}\right]\bigcup \ldots $，依题意知 $S$ 所表示的图形是无穷多个小矩形，它们的面积之和为
$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\sum\limits_{j=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{{{2}^{2i}}}-\frac{1}{{{2}^{2i+1}}} \right)\left(\frac{1}{{{5}^{2j}}}-\frac{1}{{{5}^{2j+1}}} \right)}}$
$\displaystyle =\sum\limits_{i=0}^{\infty}{\left( \frac{1}{{{2}^{2i}}}-\frac{1}{{{2}^{2i+1}}} \right)}\cdot\sum\limits_{i=0}^{\infty }{\left( \frac{1}{{{5}^{2j}}}-\frac{1}{{{5}^{2j+1}}}\right)}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{9}$ 。
故 $m+n=14$ 。
答案
解析
备注
