设 $\triangle A_nB_nC_n$ 的三边长分别为 $a_n,b_n,c_n$，$\triangle A_nB_nC_n$ 的面积为 $S_n$，$n=1,2,3,\cdots$，若 $b_1>c_1$，$b_1+c_1=2a_1$，且满足 $a_{n+1}=a_n$，$b_{n+1}=\dfrac{c_n+a_n}2$，$c_{n+1}=\dfrac{b_n+a_n}2$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
首先，将条件 $b_1>c_1$ 和 $b_1+c_1=2a_1$ 直观化，这是容易的，假想数轴上从左到右顺次三个点分别表示 $c_1,a_1,b_1$，其中 $a_1$ 表示的点为中点，如图．
接下来，根据已知条件 $a_n$ 表示的点位置保持不变，而 $b_{n+1}$ 表示的点为 $c_n$ 与 $a_n$ 表示的两点的中点，$c_{n+1}$ 表示的点为 $b_n$ 与 $a_n$ 表示的两点的中点，如图．
这样我们就发现三个关键：① $b_n$ 与 $c_n$ 的和为定值；② $b_n$ 与 $c_n$ 的距离越来越近；③ $b_n$ 与 $c_n$ 的大小关系不停的交换．循此思路，将以上三点选择合适的几何载体表示出来，而 ① 给了我们足够的启示---椭圆，如图．
因此 $S_n$ 逐步增大，选项B是正确的．
接下来，根据已知条件 $a_n$ 表示的点位置保持不变，而 $b_{n+1}$ 表示的点为 $c_n$ 与 $a_n$ 表示的两点的中点，$c_{n+1}$ 表示的点为 $b_n$ 与 $a_n$ 表示的两点的中点，如图．这样我们就发现三个关键：① $b_n$ 与 $c_n$ 的和为定值；② $b_n$ 与 $c_n$ 的距离越来越近；③ $b_n$ 与 $c_n$ 的大小关系不停的交换．循此思路，将以上三点选择合适的几何载体表示出来，而 ① 给了我们足够的启示---椭圆，如图．因此 $S_n$ 逐步增大，选项B是正确的．
题目
答案
解析
备注
