有27个单位正方体，每个正方体有4个面涂成金黄色，且没有涂色的两个面有公共棱。这27个单位正方体随机组成一个 $3\times 3\times 3$ 的大正方体，假设大正方体的6个面都是黄色的概率为 $\frac{{{p}^{\circ }}}{{{q}^{b}}{{r}^{c}}}$，其中 $p$，$q$，$r$ 是不同的素数，$a$，$b$，$c$ 是正整数，求 $p+q+r+a+b+c$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
74
【解析】
组成大正方体的27个单位正方体中，有6个只有一个面显露在大正方体的表面，12个有两个面显露在大主方体的表面，8个有三个面显露在大正方体的表面。
因为没涂色的两个面有公共棱，所以只要其中一个面出现在大正方体表面，则公共棱一定也会出现在大正方体的表面。因此我们只要计算出公共棱不出现在大正方体的表面的概率即可。
如图23-4所示，一个正方体有12条棱，位于大正方体顶点的单位正方体（如单位正方体 $C$），棱上的单位正方体（如单位正方体 $B$），面中间的单位正方体（如单位正方体 $A$）分别有9，7，4条棱显露在大正方体的表面上。
所以大正方体6个面都是黄色的概率为
${{\left( \frac{12-9}{12} \right)}^{8}}\cdot {{\left(\frac{12-7}{12} \right)}^{12}}\cdot {{\left( \frac{12-4}{12}\right)}^{6}}=\frac{{{5}_{12}}}{{{2}^{34}}\cdot {{3}^{18}}}$
从而 $a=12$，$b=34$，$c=18$，$p=5$，$b=2$，$c=3$，所以 $p+q+r+a+b+c=74$ 。
因为没涂色的两个面有公共棱，所以只要其中一个面出现在大正方体表面，则公共棱一定也会出现在大正方体的表面。因此我们只要计算出公共棱不出现在大正方体的表面的概率即可。
如图23-4所示，一个正方体有12条棱，位于大正方体顶点的单位正方体（如单位正方体 $C$），棱上的单位正方体（如单位正方体 $B$），面中间的单位正方体（如单位正方体 $A$）分别有9，7，4条棱显露在大正方体的表面上。
所以大正方体6个面都是黄色的概率为
${{\left( \frac{12-9}{12} \right)}^{8}}\cdot {{\left(\frac{12-7}{12} \right)}^{12}}\cdot {{\left( \frac{12-4}{12}\right)}^{6}}=\frac{{{5}_{12}}}{{{2}^{34}}\cdot {{3}^{18}}}$
从而 $a=12$，$b=34$，$c=18$，$p=5$，$b=2$，$c=3$，所以 $p+q+r+a+b+c=74$ 。
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