一副纸牌由 $n$ 张不同的卡片组成，其中 $n\in Z$ 且 $n\geqslant 6$，从这副纸牌里取出6张卡片的方法数是取出3张卡片的方法数的6倍，试求 $n$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
13
【解析】
从一叠 $n$ 张卡片中一次取6张共有 $C_{n}^{6}$ 种方法，一次取3张共有 $C_{n}^{3}$ 种方法。由题意得 $C_{n}^{6}=6C_{n}^{3}$，即
$720\left( n-6 \right)!=\left( n-3 \right)\left( n-4\right)\left( n-5 \right)\left( n-6 \right)!$ 。
等式两边同时约去 $\left( n-6 \right)$！，得 $782=\left(n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)$ 。因为 $720=10\times 9\times 8$，所以 $n-3=10$，即 $n=13$ 。
$720\left( n-6 \right)!=\left( n-3 \right)\left( n-4\right)\left( n-5 \right)\left( n-6 \right)!$ 。
等式两边同时约去 $\left( n-6 \right)$！，得 $782=\left(n-3 \right)\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)$ 。因为 $720=10\times 9\times 8$，所以 $n-3=10$，即 $n=13$ 。
答案
解析
备注
