一无穷等比数列 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 的所有项之和为2005，数列 $\left| {{b}_{n}} \right|$ 的各项为 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 各项的平方，它的所有项之和等于 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 所有项之和的10倍。设 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 的公比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，试求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
设无穷等比数列 $\left|{{a}_{n}} \right|$ 的首项为 $a$，公比为 $r$ 。
由题意得 $a+ar+a{{r}^{2}}+\ldots =2005$，${{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{4}}+\ldots=10\times 2005$ 。
运用无穷等比数列求和公式，得 $\frac{a}{1-r}=2005$，$\frac{{{a}^{2}}}{1-{{r}^{2}}}=10\times2005$ 。
因为 $\frac{{{a}^{2}}}{1-{{r}^{2}}}=\frac{a}{1-r}\cdot\frac{a}{1+r}$，故 $\frac{a}{1+r}=10$，即 $a=10\left(1+r \right)$ 。
再结合 $\frac{a}{1-r}=2005$ 得 $\frac{10\left(1+r \right)}{1-5}=2005$，从中解得 $\frac{m}{n}=r=\frac{399}{403}$ 。因此 $m+n=802$
由题意得 $a+ar+a{{r}^{2}}+\ldots =2005$，${{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{2}}+{{a}^{2}}{{r}^{4}}+\ldots=10\times 2005$ 。
运用无穷等比数列求和公式，得 $\frac{a}{1-r}=2005$，$\frac{{{a}^{2}}}{1-{{r}^{2}}}=10\times2005$ 。
因为 $\frac{{{a}^{2}}}{1-{{r}^{2}}}=\frac{a}{1-r}\cdot\frac{a}{1+r}$，故 $\frac{a}{1+r}=10$，即 $a=10\left(1+r \right)$ 。
再结合 $\frac{a}{1-r}=2005$ 得 $\frac{10\left(1+r \right)}{1-5}=2005$，从中解得 $\frac{m}{n}=r=\frac{399}{403}$ 。因此 $m+n=802$
【解析】
略
答案
解析
备注
