设 $m$ 为正整数，$\left\{ {{a}_{0}}, {{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{m}} \right\}$ 为实数数列，满足 ${{a}_{0}}=37$，${{a}_{1}}=72$，${{a}_{m}}=0$，${{a}_{k+1}}={{a}_{k-1}}-\frac{3}{{{a}_{k}}}$，$k=1 2 \ldots m-1$ 。试求 $m$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
889
【解析】
将通项公式两边同乘以 ${{a}_{k}}$，得 ${{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={{a}_{k}}{{a}_{k-1}}-3$ 。
设 ${{b}_{k}}={{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$，则 ${{b}_{k}}={{b}_{k-1}}-3$，其中 $k=1$，$2$，…，$m-1$ 。
由于 ${{b}_{O}}-37\times 72=2664$，${{b}_{m-1}}={{a}_{m-1}}{{a}_{m}}=0$，故 $0=2664-3\left(m-1 \right)$，解得 $m=889$ 。
设 ${{b}_{k}}={{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$，则 ${{b}_{k}}={{b}_{k-1}}-3$，其中 $k=1$，$2$，…，$m-1$ 。
由于 ${{b}_{O}}-37\times 72=2664$，${{b}_{m-1}}={{a}_{m-1}}{{a}_{m}}=0$，故 $0=2664-3\left(m-1 \right)$，解得 $m=889$ 。
答案
解析
备注
