数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=3$，$a_{n+1}=a_n^2-3a_n+4$，则 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2019年清华大学自主招生试题
【标注】
【答案】
【解析】
$a_{n+1}-2=\left(a_n-2\right)\left(a_n-1\right)$，
容易得到 $a_{n+1}-a_n=\left(a_n-2\right)^2\ge0$，由 $a_1=3$ 容易得到数列递增．
$a_{n+1}-a_n=\left(a_n-2\right)^2\ge1$，$a_n>a_1+n-1=n+2$．
各项不为 $1$ 或者 $2$．
取倒数可得 $\dfrac{1}{a_{n+1}-2}=\dfrac{1}{a_n-2}-\dfrac{1}{a_n-1}$，即 $\dfrac{1}{a_n-1}=\dfrac{1}{a_n-2}-\dfrac{1}{a_{n+1}-2}$．
$\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i-1}=\dfrac{1}{a_1-2}-\dfrac{1}{a_{n+1}-2}$，$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i-1}=\dfrac{1}{a_1-2}=1$．
容易得到 $a_{n+1}-a_n=\left(a_n-2\right)^2\ge0$，由 $a_1=3$ 容易得到数列递增．
$a_{n+1}-a_n=\left(a_n-2\right)^2\ge1$，$a_n>a_1+n-1=n+2$．
各项不为 $1$ 或者 $2$．
取倒数可得 $\dfrac{1}{a_{n+1}-2}=\dfrac{1}{a_n-2}-\dfrac{1}{a_n-1}$，即 $\dfrac{1}{a_n-1}=\dfrac{1}{a_n-2}-\dfrac{1}{a_{n+1}-2}$．
$\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i-1}=\dfrac{1}{a_1-2}-\dfrac{1}{a_{n+1}-2}$，$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i-1}=\dfrac{1}{a_1-2}=1$．
题目
答案
解析
备注
