已知 $x,y,z\in\mathbb{R}^+$，则 $\dfrac{xyz}{(4x+1)(9x+y)(4y+z)(9z+1)}$ 的最大值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2019年北京大学博雅计划数学试题(回忆)
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $4x=a$，$\dfrac{y}{9x}=b$，$\dfrac{z}{4y}=c$，$\dfrac{1}{9z}=d$，则 $abcd=\dfrac{1}{81}$．
原式 $=\dfrac{1}{324\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\geqslant\dfrac{1}{1024}$．
等号成立当且仅当 $a=b=c=d=\dfrac{1}{3}$，即 $x=\dfrac{1}{12}$，$y=\dfrac{1}{4}$，$z=\dfrac{1}{3}$
原式 $=\dfrac{1}{324\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\geqslant\dfrac{1}{1024}$．
等号成立当且仅当 $a=b=c=d=\dfrac{1}{3}$，即 $x=\dfrac{1}{12}$，$y=\dfrac{1}{4}$，$z=\dfrac{1}{3}$
题目
答案
解析
备注
