九人围坐圆桌并有三道可选套餐。 $\text{3}$ 人选择牛肉套餐，$\text{3}$ 人选择鸡肉套餐，剩余三人选择鱼肉套餐。服务生按随机顺序上菜。求满足条件的上菜顺序，使得每个人都得到其所点套餐种类。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
216
【解析】
我们简记牛肉套餐为 $B$，鸡肉套餐为 $C$，鱼肉套餐为 $F$ 。九人分别点单为 $BBBCCCFFF$，并令某个拿到正确的套餐的人排序为第一。我们下面考虑指定拿到正确餐的人后，没有人拿到自己点的食物的情况
1．如果两个点 $B$ 的人都拿到了 $C$，那么所有的 $F$ 都被点 $C$ 的人拿到了。点 $F$ 的人拿到的餐为 $BBC$ 的某种排列。故一共有 $3$ 种可能。
2．如果两个点 $B$ 的人都拿到了 $F$，同情况 $1$，共有 $3$ 种可能
3．如果两个点 $B$ 的人分别拿到 $C,F$，则点 $C$ 的人拿到的为 $FFB$，点 $F$ 的人拿到的为 $CCB$ 。此情况共有 $2\cdot3\cdot 3=18$ 种可能
由于拿到正确餐的人是随机指定的，所以一共有 $9\cdot24=216$ 种可能
1．如果两个点 $B$ 的人都拿到了 $C$，那么所有的 $F$ 都被点 $C$ 的人拿到了。点 $F$ 的人拿到的餐为 $BBC$ 的某种排列。故一共有 $3$ 种可能。
2．如果两个点 $B$ 的人都拿到了 $F$，同情况 $1$，共有 $3$ 种可能
3．如果两个点 $B$ 的人分别拿到 $C,F$，则点 $C$ 的人拿到的为 $FFB$，点 $F$ 的人拿到的为 $CCB$ 。此情况共有 $2\cdot3\cdot 3=18$ 种可能
由于拿到正确餐的人是随机指定的，所以一共有 $9\cdot24=216$ 种可能
答案
解析
备注
