$n$ 名数学家坐在圆桌的 $n$ 个座位，顺时针编号依次为 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}\cdots n$ 。休息之后他们再次落座，并且发现存在正整数 $a$ 满足：
（1）对于每个 $k$，之前坐在 $k$ 的数学家在休息过后坐在 $ka$（座位 $i+n$ 即为 $i$）
（2）对任意一对数学家，他们之间间隔的人数，无论是顺时针数还是逆时针数都与休息前间隔人数不同。
求所有可能的 $n$，$1<n<1000$
（1）对于每个 $k$，之前坐在 $k$ 的数学家在休息过后坐在 $ka$（座位 $i+n$ 即为 $i$）
（2）对任意一对数学家，他们之间间隔的人数，无论是顺时针数还是逆时针数都与休息前间隔人数不同。
求所有可能的 $n$，$1<n<1000$
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
332
【解析】
当且仅当 $\left( a\text{,}n \right)\text{=}1$，$\left\{0\text{,}a\text{,}2a\text{,}\cdots \text{,}\left( n-1 \right)a \right\}$ 构成一个完全剩余类。由条件，因为对于任意的 $p\text{,}q$，$ap-aq$ 与 $p-q$ 或 $q-p$ 模 $n$ 值不同，所以 $a-1\text{,}a+1$ 也必须能构成 $n$ 的一个完全剩余类。故 $a-1\text{,}a+1$ 均与 $n$ 互质。当 $n$ 不是 $23$ 的倍数时，令 $a\text{=}n-2$ 既满足条件。当 $n$ 是 $2$ 或 $3$ 的倍数时，显然找不到满足条件的 $a$ 。故我们只需要求出不是 $2$ 或 $3$ 的倍数的 $n$ 的个数，即 $998-\left( 499+333-166 \right)\text{=}332$
答案
解析
备注
