满足 $n^3+2n^2+8n-5=a^3$ 的自然数对 $(n,a)$ 一共有 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2019年北京大学博雅计划数学试题(回忆)
【标注】
【答案】
C
【解析】
容易得到 $n$ 是正整数，$2n^2+8n-4>0$，即 $n^3+2n^2+8n-4>n^3$
$\left(n+1\right)^3-\left(n^3+2n^2+8n-5\right)=n^2-5n+6$
若 $n>3$，则 $n^2-5n+6>0$，无解．
只能 $n=1,2,3$，经检验只能 $n=2$，$n=3$
$\left(n+1\right)^3-\left(n^3+2n^2+8n-5\right)=n^2-5n+6$
若 $n>3$，则 $n^2-5n+6>0$，无解．
只能 $n=1,2,3$，经检验只能 $n=2$，$n=3$
题目
答案
解析
备注
