求最小的正整数 $N$ 使得从 $1000\cdot N$ 开始的连续 $1000$ 个整数没有完全平方数
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
282
【解析】
相邻两个完全平方数的差为 ${{\left(x+1 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}\text{=}2x+1$ 。欲使得 $2x+1\geqslant 1000$，则 $x\geqslant 500$ 。 $N000,N999$ 均不为完全平方数。若 $x\text{=}500$ 时，${{x}^{2}}\text{=}250000\text{,}{{\left(x+1 \right)}^{2}}\text{=}251001$，此范围内 $N\text{=}250$，但不满足条件。我们需要找的是末三位构成的数尽可能接近 $1000$ 的最小的 ${{x}^{2}}$ 。枚举法可得 $x\text{=}531$ 时，${{531}^{2}}\text{=}281961\text{,}{{532}^{2}}\text{=}283024$，令 $N\text{=}282$ 满足条件。故所求值为 $282$
答案
解析
备注
