求满足条件的有理数 $r$ 的个数，其中 $0<r<1$，其分子分母没有公因数且和为 $1000$ 。
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
200
【解析】
满足条件的有理数集为 $\left\{ \left. r \right|\frac{1}{999}\leqslant r\leqslant\frac{499}{501}\text{,}r\text{=}\frac{n}{m}\text{,}\left( m\text{,}n\right)\text{=}1\text{,}n+m\text{=}1000 \right\}$ 。注意到 $\frac{n}{m}\text{=}\frac{1000-m}{m}\text{=}\frac{1000}{m}-1$ 。因此 $\frac{n}{m}$ 是不可约的等价于 $\frac{1000}{m}$ 不可约，故 $m$ 不能被 $2$ 或 $5$ 整除。因此我们只需求出 $501$ 至 $999$ 之间不能被 $2$ 或 $5$ 整除的整数的个数，即 $499-249-99+49\text{=}200$
答案
解析
备注
